خصوصیات اشکال فرکتال

Broccoli

خصوصیات اشکال فرکتال

فرکتال از کلمه‌ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است.

اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه‌ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که، جهان هستی بعدی مابین دارد و تمامی پدیده‌های طبیعی به نوعی فرکتال‌هایی می‌باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته‌اند.

هندسه ی اقلیدسی (احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها)بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .

این بدین معناست که هندسه‌ی فراکتال بر خلاف هندسه‌ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیله‌ی آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمول‌ها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فراكتال یك شكل یا الگوی هندسی ساخته شده از قسمت‌های یكسان است كه در برگشت به داخل جزئیات نشان دهنده الگوی كلی است .

به عبارت دیگر به هر جزء از شیء كه نگاه كنیم تصوری از كل شیء در ذهن ما ایجاد میشود .

واژه فراكتال در سال 1975 توسط "بنویت مندلبرات" برای توصیف اشیاء هندسی پیچیده كه درجه بالائی از خود تشابه دارد تشكیل شده است .واحد اساسی برف دانه كخ كه توسط هلگ ون كخ ریاضیدان(1870-1824) رسم شده مثلث متساوی الاضلاعی است كه می‌تواند وسعت پیدا كند اما در عین حال هنوز شبیه الگوی اولیه است. هر قسمت از برف دانه در هر مقیاس از ان كه دیده می‌شود به طور یكنواخت در كنار هم واقع شده اند. بعضی از فراكتال‌های فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه‌های جولیا است كه توسط ریاضیدان فرانسوی گالتون جولیلا (1893-1978) اختراع شد . مجموعه جولیا با كاربرد قانون غیرخطی مكرر تولید می‌شود كه بر اساس یك تابع قانون مربعی خیلی ساده است.
(F,C ) = 2Z +CZكه در ان Z یك نقطه روی صفحه Xoy است و C یك نقطه ثابت با هر دو مؤلفه X و Y خصوصیات اشکال فرکتال است. CX و CY نتایج خیلی جالب و شگفت انگیز بودند .

هیچكس گمان نمی‌كرد كه چنین تابع ساده‌ای بتواند به شكل‌گیری تصاویر پییچیده‌ای كه تحلیل و تفسیر آن كار اسانی نیست منجر شود.

نظریه ریاضی مدرن كه به طور ریشه‌ای از هندسه اقلیدسی باستانی جدا میشود ,هندسه فراكتالی است كه به توصیف اشیائی می پردازد. كه خود متشابه یا متقارن اند. این بدان معنا است كه وقتی این اشیاء بزرگنمائی شوند به نظر میرسد كه بین اجزای انها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزء به جزء تا بینهایت ادامه می دهند و اما ماهیت فراكتال ها كه در واقع در خود كلمه منعكس شده, این واژه توسط "مندلبرات" ریاضیدان از فعل لاتین شكستن گرفته شده و منسوب به صفت فراكتوس به معنی سنگی كه به طور نامنظم شكسته و خرد شده است می باشد.
فراكتال‌ها شكل‌هایی هستند كه برعكس شكل‌های هندسه اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند .

این شكل‌ها اولا: سراسر نامنظم ‌‌اند.

ثانیا: میزان بی نظمی انها در همه مقیاس‌ها یكسان است.

فراکتال‌ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست. بنابراین “نامرتب ” نامیده شده‌اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاس‌های گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند. هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است، به این سبب که خطوط صاف و پلان‌ها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد. در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است. این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست. فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

فراکتال‌ها به وسیله‌ی ” تکرار ” توسعه می‌یابند که به این معنی است که تغییر شکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است. خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است. اما با این حال می توان آن را به وسیله‌ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است.

واژه فرکتال از ریشه‌ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و ”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.

اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به 3 دسته تقسيم بندي كرد :

1- هندسه فركتال: در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته اما پايه هاي قسمت هاي بعدي نيز مي باشد ، و تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد.

2- فرم فركتال: قسمت دوم اين مقاله است ، با توجه به اينكه ،محصول هندسه فركتال فرمي است كه دقيقاً آن مشخصه هاي هندسي مربوطه را دارد . در اين بخش فرم هايي همچون فرم هاي درخت ، فرم هاي مندلبرت ، فرمهاي موجود در طبيعت ، ايجاد فرم هاي رندوم (Random fractal) ، خود متشابهي (self similarity) ، فركتال در نقاشي ( آثار نقاشاني چون جكسون پالاك ) و … مورد بررسي قرار خواهد گرفت .

3- حجم فركتال (فركتال در معماري): نتيجه فرم‌هاي مختلف مي‌تواند به يك اثر معماري منتج شود لذا در اين بخش حجم هاي فركتالي و آثار معماري مطرح مي‌شود .

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه بسيار جالب است. با كمي دقت به اطراف خود، مي توان بسياري از اين اشكال را يافت.

از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه‌هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه‌ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس‌ها، سياه‌رگ و حتي مي‌توان از اين هم فراتر رفت: سطح كره ماه، منظومه شمسي و ستارگان.

تصو یر کلم بروکلی

اين روزها از فراکتال‌ها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نيز نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترین نقش را در فشرده‌سازي فايل‌هاي تصويري بازي می‌کنند.

جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود.

مثلا وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروط‌های کوچکتر و بی‌نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروط‌های کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها –سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است. و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند. در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

خصوصيات اشکال فرکتال:

- اشکال اقليدسي با استفاده از توابع ايستا توليد مي شوند ولي اشکال فرکتال با فرآيندهاي پويا توليد مي شوند.( فرآيندهاي پويا, فرآيندهايي هستند که داراي حافظه مي باشند و رفتار آنها به گذشته بستگي دارد.)

- اشکال فرکتال داراي خاصيت خود همانندي است. طول اين اشيا بي نهايت است که در فضاي محدود, محصور شده اند.

- مجموعه‌هاي فرکتال, از زير مجموعه‌هايي تشکيل شده اند که اين زير مجموعه‌ها شبيه مجموعه‌هاي بزرگتر هستند.

- هندسه فرکتال داراي ساختارهاي ظرفيتي بالاست ولي ظرفيت اطلاعاتي اشياي اقليدسي بسيار محدود و حاوي اطلاعات تکراري است.

- هندسه فرکتال, بيان رياضي از معماري طبيعت است.

- هر فرآيند تکراري و پويا باعث ايجاد ساختارهاي پيچيده فرکتال نمي شود. مکانيزم توليد چنين ساختارهاي پويايي, آشوب است. در حقيقت, فرکتال تصوير رياضي از آشوب است.

رابطه فراکتال و معماري:

مطالعه هندسه بايد به طراح کمک کند به درک بهتري از جريان جزئيات در پيرامون ما و جهان طبيعي دست يابد.

خصوصيت فراکتالي يک ترکيب معماري در تسلسل جالب جزئيات است. اين تسلسل براي حفظ جذابيت معماري لازم است. هنگامي که شخص به يک ساختمان نزديک و سپس به آن وارد مي شود هميشه بايد مقياس کوچکتر ديگري همراه با جزئيات جذاب وجود داشته باشد تا معناي کلي ترکيب را بيان کند که اين يک ايده فراکتال است.

انسانها در روزگار قديم که در طبيعت مي زيستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبيعت بيگانه نبودند, معماريشان با نظم طبيعت بود. آنها به اين دليل که در طبيعت رشد ميافتند, ضمير ناخودآگاهشان نيز با نظم طبيعت- يعني با نظم فراکتال- رشد ميافت, در نتيجه مصنوعاتش نيز داراي نطم فراکتال مي بود.

فراکتال در معماري معاصر:

به دنبال بيگانگي انسان معاصر با طبيعت و دور شدن ساخته‌هايش از تشابه با ساختارهاي طبيعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبيعت در آثارشان هستند. هر چند که اين هنوز آغاز راه است ولي ارتباطي جديدي در زمينه طبيعت و معماري معاصر را نشان ميدهد. ارتباطي که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

"به نام پروردگار هستی بخش"

در عصر ارتباطات مناسب دیدم به این وسیله با هموطنان، دوستان و همکاران عزیزم در تماس بوده و از نظرات و عقاید هم بهره مند شویم. لذا بسیار خرسند میشوم با راهنماییهایتان مرا یاری رسانید.

کاربرد اشکال فراکتال در بازارهای مالی

واژه فراکتالی (Fractal) از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده است.

یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال‌ها خود متشابه بودن (self similarity) آنهاست.

به این معنی که فراکتال‌ها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

تشکیل از راه تکرار (Iterative formation)

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟

یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی (مثلاً یک خط) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده‌تری مانند شکل‌های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم.

اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟

اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند در زیر به چند نمونه از آن اشاره می کنیم:

– مثلث سیرپینسکی :

به این مثلث خاص در شکل زیر نگاه کنید. این مثلث بزرگ (که با نام لاتین ierpinskitriangle معروف است)، از مثلث‌های مشابه کوچک‌تر تشکیل شده است که همین طور کوچک‌تر و کوچک‌تر هم می‌شوند.

چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟

در واقع مثلث بزرگ از چیدمان چندین مثلث دیگر بوجود آمده‌اند که هر کدام از آنها نیز به نوبه خود از مثلث‌های کوچتکر و هر کدام از آن مثلث‌های کوچکتر نیز از مثلث‌های کوچکتر از خود و … بوجود آمده است.

تشکیل مثلث سیرپینسکی

– دانه برف کخ :

این دانه برف تنها از یک مثلث و بصورت زیر ساخته می‌شود.

این نام از نام آن ریاضیدان، نیلز فابین هلگ وان‌ کُخ Niels Fabian Helge Von Koch گرفته شده است.

برای ملموس‌تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه‌های برف، شکل کوه‌ها، ابرها و شکل ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه‌ها، رسوب‌گذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی و غیره دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.

– فراکتال طبیعی گیاه آلوئه پلی فیلا

شکل زیر از دوران یک تک برگ حول محور مرکز (به گونه ائی که شعاع دوران دائمآ در حال کاهش است) بوجود آمده است.

لذا میتوان بجای مطالعه کل شکل، تنها به مطالعه همان تک برگ پرداخت زیرا کل شکل فوق چیزی به جز قرار گیری هدفمند تعداد زیادی از این تک برگ‌ها در کنار یکدیگر نیست.

– کلم بروکلی رومانسکو

کلم بروکلی رومانسکو، یکی از کلم های عجیب در جهان به حساب می‌آید، چرا که ترتیب قرارگیری و شکل هندسی برگ‌ها و دانه‌های آن از معادلات و اشکال هندسی کاملا متقارن و هندسی تبعیت می‌کند.

– دانه برف طبیعی:

در عکس میکروسکوپی زیر می‌بینید که دانه‌های برف با چه زیبایی وصف ناپذیری بصورت فرکتالی ساخته شده‌اند.

موارد کاربرد فراکتال‌ها آنچنان زیاد است که حتی نمی‌توان لیستی از آن ارائه داد.

چند مورد از کاربردهای روزمره با فراکتال‌ها: مثلا در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل‌ها و بسیاری از مواد دیگر؛

همچنین می‌توان رد پای فراکتال‌ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده‌های بدیع و زیبایی خلق نمود.

ارتباط فراکتال با بازار های مالی

در بازارهای مالی نیز مانند سایر بخش‌های کتاب خلقت، سیستم فراکتالی نیز صادق است.

اگر تایم فریم را مانند یک طیف در نظر بگیریم، و جهت حرکت از سمت چپ به راست باشد، در سمت چپ و در نقطه آغاز این طیف، تیک چارت را بعنوان کوچکترین آجر و سنگ بنای تایم فریم های دیگر خواهیم داشت.

در واقع تیک چارت حکم اتم (به معنای غیر قابل تجزیه به عوامل کوچکتر) را دارد.

در هر زمانی که قیمت جدیدی برای یک جفت ارز (Ask) اعلام شود، تیک چارت تغییر خواهد کرد.

در مرحله بعدی تایم فریم یک دقیقه را داریم که اطلاعات تیک چارت را به مدت یک دقیقه خلاصه کرده و در یک کندل حاوی: قیمت شروع یک دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان یک دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حد اکثر در یک دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در یک دقیقه مورد بررسی (low) قرار می گیرد.

تایم فریم بعدی در طیف می تواند تایم فریم ۵ دقیقه باشد که اطلاعات ۵ کندل یک دقیقه ائی را در خود جا داده و در یک کندل نمایش می دهد: قیمت شروع پنج دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان پنج دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حداکثر در پنج دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در پنج دقیقه مورد بررسی (low)

همینطور که از سمت چپ این طیف به سمت راست طیف حرکت می کنیم تایم فریم بزرگتر و بزرگتر می شود اما جزء غیر قابل تجزیه در تمام آنها (مانند تمام ساختارهای فراکتالی) فقط یک چیز است که در این مورد (تایم فریمها) همان تیک چارت می باشد.

نکته اساسی که در ساختار فراکتالی تایم فریمها وجود دارد آنست که تمام تکنیک‌ها، روش‌ها، اندیکاتورها، استراتژی‌ها و … که برای یک تایم فریم قابل استفاده است، برای تمام تایم فریم‌های دیگر با همان دقت قابل بکارگیری است.

یعنی استراتژی شما در تایم فریم یک دقیقه به همان نحوه ائی عمل می‌کند که در تایم فریم ماهانه و یا سایر تایم فریم‌ها بکار گرفته شود.

این اعجاز بزرگ ساختار فراکتالی در بازار سرمایه و بازارهای مالی است.

البته بدیهی است که تایم‌های پایین‌تر میکروسکوپیک و حرکت‌ها دارای برد‌های کمتر و تایم‌های بالاتر ماکروسکوپیک بوده و در نتیجه حرکت‌ها با بردهای بیشتر اتفاق می‌افتند.

دید فرکتالی به بازار می‌تواند تحلیل تکنیکال شما را بهبود ببخشد.

اما گاهی نباید فریب الگوهای فراکتالی را بخورید، فراکتال‌ها همیشه تکرار نمی‌شوند.

قصد شروع سرمایه‌گذاری در بورس را دارید؟ اولین قدم این است که افتتاح حساب رایگان را در یکی از کارگزاری‌ها انجام دهید:

برای سرمایه‌گذاری و معامله موفق، نیاز به آموزش دارید. خدمات آموزشی زیر از طریق کارگزاری آگاه ارائه می‌شود:

هندسه فراکتالی

مدل فرکتالی مندل بروت مندل بروت وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می‌کرد به این نتیجه رسید که هرگاه در مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که در مقیاس کوچکتر باشد. این بی‌نظمی ایجاد شده باعث ایجاد شاخه ریاضی نظریه بی‌نظمی به اصطلاح فرکتال بر یکی از مشخصه‌های اصلی این فرم هندسی که ناشی از ماهیت قطعه، قطعه شوندگی است، تأکید نموده است. به اعتقاد او، جهان هستی و تمامی پدیده‌های طبیعی به نوعی فرکتال می‌باشند. اواعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوه‌ها همانند مخروط نمی‌باشند، خصوصیات اشکال فرکتال سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی‌کند. با مشاهده اشکال موجود در طبیعت، مشخص می‌شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. هندسهٔ اقلیدسی (حجم‌ها کامل کره‌ها، هرم‌ها، مکعب‌ها واستوانه‌ها) بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند. ابرها، کوه‌ها، خط ساحلی و تنهٔ خصوصیات اشکال فرکتال درختان همه با حجم‌ها اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس‌های کوچک نیز به ارمغان می‌آورند که یکی ازمهمترین خصوصیات فراکتال‌ها همین است. این بدین معناست که هندسهٔ فراکتال بر خلاف هندسهٔ اقلیدسی روش بهتری برای توضیح و ایجاد پدیده‌هایی همانند طبیعت است. زبانی که این هندسه به وسیلهٔ آن بیان می‌شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می‌توانند به فرمولها و قوانین ساده‌تری ترجمه و خلاصه شوند. فرکتال‌ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست؛ بنابراین «نامرتب» نیز نامیده شده‌اند و این نامنظمی درآنها به طور هندسی و در راستای مقیاس‌های گوناگون در داخل هرم تکرار می‌گردد. هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فرکتال است. به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده‌آل ریاضی وجود دارد. در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می‌تواند یک فرکتال باشد.

در نهایت برای مقایسه اشکال فرکتال با اشکال اقلیدسی باید بدانیم:

• -اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می‌شوند حال آنکه اشکال فرکتال با فرایندی خصوصیات اشکال فرکتال پویا بوجود می ایند. فرایندهای پویا دارای حافظه زمانی هستند و رفتار آنها با گذشته مربوط می‌گردد.
• – اشکال فرکتال دارای خاصیت خودهمانندی است، طول این اشکال بی‌نهایت است اما در فضای محدود محصور شده‌اند.
• – هندسه فرکتال دارای ساختارهائی با ظرفیت بالا است، درحالی که ظرفیت اشکال اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
• – هندسه فرکتال بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

– مکانیزم ساختارهای فرکتالی بی نظمی است. در حقیفت فرکتال تصویر ریاضی از بی نظمی است.

همانگونه که قبلاً گفته شد فرکتال‌ها تصاویرهندسی چندجزیی هستندکه می‌توان آنها را به تکه هائی تقسیم نمود که هر تکه یک نسخه از کل تصویر باشد. بررسی فرکتال هاازنمای کلی مشتمل بر سه بخش می‌گردد:

• – هندسه فرکتال
• – فرم فرکتال
• – حجم فرکتال

از دید هندسی فرکتال به شیئی گفته می‌شوند که چهار ویژگی بارز زیر را دارا باشد:

• – دارای خاصیت خود مشابهی باشد.
• – در مقیاس کوچک بسیار پیچیده باشد.
• – بعد آن عدد صحیح نباشد.
• -تابع بازگشتی باشد.

در تصاویر زیر نمود جلوه هندسه فراکتالی را در واقعیت و انتزاع ملاحظه میکنید

Broccoli

تدریس خصوصی ریاضیات و کنکور

دروس: دیفرانسیل- ریاضیات گسسته -هندسه تحلیلی ریاضی عمومی(تجربی)-ریاضیات پایه(انسانی)

هندسه فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.
با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.
جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

تعریف فراکتال
هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

برج هرست - نورمن فاستر

رابطه فراکتال و معماری
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.
انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نظم فراکتال می بود.
خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.خصوصیات اشکال فرکتال

نسخه چاپی :

بررسی ویژگی های هندسی گره ها در تزیین های اسلامی از دیدگاه هندسه فرکتال-بخش اول

یکی از ویژگی های هنرهای اسلامی، وجود نقش های هندسی در عناصر تزیینی طاقی ایرانی چون مقرنس ها، یزدی بندی ها و گره چینی ها است. این مقاله، ویژگی های هندسۀ تزیین های اسلامی را از زاویه ای جدیدتر است، چرا که هندسة تزیین های اسلامی چیزی فراتر از هندسۀ اقلیدسی است که تنها به بررسی اشکال کلاسیک می پردازد. برای اثبات این ادعا، گره ها از یک سو به دلیل تنوّع، کثرت، پیچیدگی، آهنگ، توازن و استفاده از انواع نقوش هندسی و از سوی دیگر به دلیل مطالعات وسیعی که از سوی صاحب نظران در این زمینه ارائه شده، انتخاب گردیده اند.
نتایج تحقیق حاکی از آن است که از جمله ویژگی های هندسی گره ها، قیاس با ویژگی های هندسۀ فرکتال ها (1) است. فرکتال یا برخال، شکل های هندسی نااقلیدسیِ نامتعارف، نامنظم و در عین نظمی هستند که مهمترین ویژگی آن ها خودمتشابهی آن هاست. این ویژگی ها در هندسۀ تزیین های اسلامی به صورت تصادفی حاصل نگردیده است؛ چرا که هنرمندان اسلامی علاوه بر برخورداری از دانش ریاضی، همواره از طبیعت به عنوان منبع الهام اصلی بهره گرفته اند. این امر حاکی از آن است که در گذشته، این هنرمندان به خوبی از ابعاد گستردۀ ویژگی های طرح های هندسی خود، آگاه بوده و از این نظر پانصد سال پیش از همتایان غربی خود از ویژگی های غیراقلیدسی در طرح های خود بهره گرفته اند.
واژگان کليدي: هندسه، گره، فرکتال، طبیعت، تزیین های اسلامی.

امروزه با صحبت از خلق فضاهایی با کاربری های پیچیده و سازه هایی انعطاف پذیر، بلافاصله معماری معاصر غرب و مبانی نظری رایج در دنیای مدرن تداعی می شود. اعتقاد عموم متخصصّان بر این است که فقط با معماری های برگرفته از مکاتب غرب که هندسۀ فضایی خاصی دارند، قادر به خلق فضاهای پیچیده با قابلیّت گسترش در ابعاد مختلف فضایی خواهیم بود. در حالی که «معماری اسلامی در ذات خود معماری هندسه گراست » (فلامکی، 1381 ؛ 210 ). عشق مسلمانان به رياضيّات، خاصّه هندسه و عدد، مستقيماً به اصل پيام اسلام مربوط می شود، كه همانا عقيده به توحيد است.
در جهان بيني اسلامي، ويژگي تقدّس رياضيّات در هيچ جا بيش تر از هنر ظاهر نشده است. در هنر، ماده به كمك هندسه و حساب شرافت يافته و فضایي قدسي آفريده كه در آن حضور همه جايي خداوند مستقيماً انعكاس يافته است. نقش هاي هندسي بي نهايت گسترش پذير، نمادي از بعد باطني اسلام است و اين مفهوم صوفيانه «كثرت پايان ناپذير خلقت، فيض وجود است كه از احد صادر مي شود: كثرت در وحدت » (نصر، 1366 ؛ 143 ). بنابراین هندسه در فضاسازی معماری اسلامی نقش به سزایی دارد و از آن جایی که در معماری، فضا با سطوح تعریف می شود و سطوح در اغلب موارد با تزیین های همراه است، ارتباطی درونی در معماری اسلامی بین هندسه و تزیین های وجود دارد.

«استفاده از نقوش هندسي در مفهوم نمادين و فلسفي آن به منظور تأثيرگذاري رواني بر نيايش گر و تقويت حس وحدانيّت در فضاي مسجد است. شكل هاي پيچاپيچ هندسي با تكرار تناسبات وابسته به يك نقش، نوعي احساس نظم و هماهنگي آفریده و در اغلب موارد کمک زیادی به ایستائی بنا می نمایند » (بورکهارت، 1376 : 21). هنرمندان اسلامی به مفهوم هندسه ای که از شکل های طبیعی گرفته شده بود، واقف بوده اند. این هندسه بعدها به نام هندسة فرکتال شناخته شد.
ویژگی الگوهای اسلامی بر پایۀ معادلات دقیق ریاضی استوار بوده و طبیعت با دارا بودن الگوهای پیشرفته ریاضی همواره سرمشق و منبع الهام مهندسان و هنرمندان در دنیای اسلام بوده است. انسان، کاشف طبیعت و عامل برقراری تداوم و پایداری آن است. این انسان است که به طبیعت معنا می بخشد و با همدلی فزاینده و پردامنه خود می تواند رازهای نهانی طبیعت را (که بی شک همان رازهای فطری اوست) دریابد. قرن هاست که انسان با طبیعت زیسته است و برای تأمین نیازمندی های جسمی و روحی خود به طبیعت گرویده است. طبیعت و جلوه های آن همیشه منبع بی پایان الهام برای انسان بوده است.
«طبیعت » همواره به عنوان منبع تقلید و الهام، مورد نظر اندیشه مندان بشری در عرصه های علمی و هنری بوده است. در میان هنرمندان و حرفه مندان هنرمند، «معماران» جایگاه والایی در استفاده و نه تنها تقلید و محاکات صرف از ساختارهای طبیعی و محیط زیست در زمینة «الگوبرداری های فرمی»، «الگوبرداری محتوایی» و «الگوبرداری از قوانین طبیعت» داشته اند (محمودی نژاد،1388 : 391 ).

در طبيعت، سيستم هاي الگوها را به عنوان ساختارهاي هندسي شكل و تناسب مي توان در كوچك ترين ذرات تا کیهان بزرگ پيدا كرد. از آن جا که این مقاله در پی بررسی ویژگی هندسه تزیینات اسلامی از زاویه ای جدیدتر یعنی هندسه فرکتال است، سؤال اصلی تحقیق این است که «آیا می توان ویژگی های هندسه گره ها را از دیدگاه هندسه فرکتال مورد تجزیه و تحلیل قرار داد؟» در مورد هندسة تزیین های اسلامی، منابع بسیار محدودی در داخل کشور موجود است که بیش تر آن ها بر چگونگی ترسیم این نقوش از دیدگاه هندسۀ اقلیدسی تأکید دارند.
بنابراین، بیش ترین منابع مورد استفاده در این مقاله، تحقیقاتی هستند که اخیراً محققان دربارة ابعاد متنوع تزیین های اسلامی انجام داده اند. محققان بسیاری هم چون پروفسور راجرز پنروز (2)از دانشگاه آکسفورد، پروفسور پیترلو (3) از دانشگاه هاروارد و پاول اشتاین هارت (4) از دانشگاه پرینستون، کیث کریچلو (5) نویسندۀ کتاب الگوهای ریاضی، خانم دکتر نجیب اوغلو (6) از دانشگاه هاروارد، دکتر کرگ اس کپلان (7)، فرود رونینگ (8)، ریچارد هنری (9) و رضا سرهنگی (10) خصوصیات اشکال فرکتال دربارة با الگوهای اسلامی، تحقیقات گسترده ای انجام داده اند.
هم چنین در مورد تعریف هندسۀ فرکتال و ابعاد گوناگون آن منابع متعددی وجود دارد، لیکن دربارة ویژگی های هندسۀ تزیین های اسلامی از دیدگاه هندسۀ فرکتال، هیچ تحقیق مشخص و جامعی صورت نپذیرفته است. این تحقیق بدین لحاظ در نوع خود بدیع است و مسلماً آغازی بر پژوهش های کامل تر در مورد ذات هندسۀ اسلامی و ارتباط آن با نیاز کشورهای اسلامی در زمینه معماری همگام با شرایط دنیای معاصر محسوب می شود. برای پاسخ گویی به پرسش اصلی تحقیق و دست یابی به هدف عمدۀ این مقاله، جمع آوری داده ها به روش توصیفی و پدیدارشناسانه با بهره گیری از منابع انجام پذیرفت. هم چنین، برای تحلیل داده ها و یافته های ناشی از مطالعات، از روش تحلیلی- تطبیقی- قیاسی در رابطه با ساختار هندسۀ گره ها با هندسۀ فرکتال بهره گرفته شد.

1. هندسه و تزیین های اسلامی

ریاضی دانان مسلمان برای علم ریاضی، قداست قائل بوده و علاقه خاصی به آن داشته اند (صفا، ١٣٥٦: ٢٩٦). بی تردید توازن، هماهنگی و قداست اشکال مادی در هنر آشکار می شود و به کمک هندسه و جهان ماده شرف می یابد، قدسی می شود و آن گاه در هنر اسلامی جاودانه می گردد (خوارزمی 1326 : 3)، این ویژگی ریاضی (هندسه)در هیچ یک از علوم اسلامی آن گونه نمایان نیست. امّا در هنر اسلامی به خوبی خودنمایی میکند.
. هنر ایران در دورة اسلامی، در عین حال که عمیقاً ایرانی و همساز با حسّاسیّت های مردم ایران است، به مفهوم سنّتی کلمه، اسلامی هم هست و لذا می تواند برای نمایش پیوند عام و جهانی معنویّت و هنر اسلامی، به بهترین وجهی مؤثّر افتد (نصر : 8:1375).

این هنر بر علمی باطنی مبتنی است که به ظواهر اشیا نظر ندارد، بلکه ناظر بر حقیقت درونی آن هاست (پیشین : 15) به هر حال ریاضیات و هندسه در جهان اسلام از یک سو چنان ارج و قربی یافتند که لقب علم مقدس را گرفتند از دیگر سو تشابه و اشتراک در برخی بنیان های نظری، پیوند میان هنر و ریاضیات را در هنر اسلامی چنان گسترده ساخت که امروزه کم تر محققی می تواند نسبت به این پیوند بی اعتنا)باشد (بلخاری قهی، 1384 : 548)0 شکل هندسی، مفهومی صرف نیست، بلکه تصویر آن هم تصویری بصری و دارای ویژگی هایی است که مفاهیم معمول فاقد آن ها هستند؛ بدین معنی که در برگیرندة نمود ذهنی ویژگی های فضایی است (Fischbein: 1987.114 ). در معماری تزیینی، هر نقش ورای ارزش صوری خود دارای ارزشی برگرفتة از فرهنگ و بیانگر عقیده و آرمان تداوم یافتة مردم جامعه در نسل ها است.
آرایه های معماری از سویی ذهن بیننده را به زیبایی صوری و ظاهری نقشها و نوع کاربری فضاهای بنایی که نقش و نگارها بر دیوارهای آن نشسته، فرا میخوانند و از سوی دیگر دیدگاه بیننده را به قلمرو و راز و رمزهای فرهنگی و دینی پوشیده در مفاهیم نقش ها می گشایند (بلوکباشی، 1383 : 385 ) با دریافت مفاهیم نمادی نقش و نگارها در معماری تزیینی و ریشه یابی آن ها، می توان به شناخت ذهن و اندیشة معماران و در نتیجه به فرهنگ مردم و جهان بینی و آرمان های آنان دست یافت.
. دنیا، دنیای قانون و سراسر حکمت است و در هنر اسلامی، نقش های هندسی از اهمیّت ویژه ای برخوردارند که باید روابط و قوانین این نقش ها رمزگشایی گردد. دانش تحلیل این نقوش، یکی از روش های حل معمای «وحدت گرا» بودن فرایند طرّاح است. یکی از روش های تحلیل این فرایند نیز استفاده از یافته های پیشینیان است (Steinhardt,2007).

به طور کلی انواع نقوش تزیینی را می توان به چند گروه اصلی نقوش انسانی، نقوش حیوانی، نقوش نباتی یا گیاهی، کتیبه های حاوی خطوط تزیینی و نقوش هندسی یا «گره» تقسیم و گروه بندی نمود (دهقان نژاد، 1383). از آن جا که در هنر اسلامی، خلق تصاویر انسانی و حیوانی ممنوع گردیده است، این نقوش را به ندرت در تزیین های اسلامی می بینیم. آن چه در ایران در این باره موجود است به دوران قبل از اسلام مربوط می شود (بلوکباشی، 51383 : 38) هنرمند مسلمان به ایجاد تزیین های پرداخت که عنصر اصلی آن ها اشکال هندسی و نقوش انتزاعی بود.
چنین نگرشی، باعث ایجاد قالبی گردید که حالتی کاملاً تشبیهی دارد و با ایجاد احجام و تزیین ها شامل نقوش هندسی و نگاره های اسلیمی، به بیان احساس و اندیشه ای خاص پرداخت که «توحید» مهم ترین موضوع آن است . نقوش هندسی به نحو بارزی وحدت در کثرت و کثرت در وحدت را نمایش می دهد (مددپور، ١٣٧٤: ١٣٥).

2. هنر گره چینی و گره

1-2 گره چینی

هنر گره سازی از دامنه ای بسیار وسیع برخوردار است و استادان این هنر در ممالک مختلف اسلامی هر کسی آن را با سلیقة قومی خود آمیخته و گره های بسیاری را در بناهای اسلامی به خصوصیات اشکال فرکتال وجود آورده اند. گره چینی به طور کلی عبارت از قرار دادن آلات گره در ترکیبی هماهنگ و زیبا است. (زمرشیدی، 1365) واژة گره چینی به شکل ترکیبی آن در فرهنگ های فارسی تعریف نشده است. گره در لغت به معنی به هم پیچیدگی نخ و ریسمان و بند و چین و شکن و شکنج است.
گره چینی که از ترکیب دو واژة «گره» و «چین» به وجود آمده است در لغت معنایی معادل پیچیدگی همراه با چین و شکن دارد. در تعریفی دیگر گره چینی عبارت است از ترکیبی هماهنگ از شکل های هندسی به هم پیچیده، موزون و جاذب که با استفاده از خط های راست شکل گرفته است (نجیب اوغلو،1380 : 130). گره چینی ایرانی یکی از رشته ها و حِرَف سنّتی است که به نقوش هندسی تکیه دارد و بیننده در اولین برخورد با این هنر، تحت تأثیر نظم آن قرار می گیرد.
بنابراین ویژگی آن همان نظم هندسی و تعادل آن است. علتّ استفاده از اشکال هندسی خاص در گره چینی این است که رموز خاص را در اشکال هندسی خاص می دانند (کیانمهر و خزایی ،1385 : 38 – 26). اشکال هندسی که توسط هنرمندان گذشته نام گذاری شده اند، معمولا از طبیعت، حیوانات، پرندگان، اجرام آسمانی، اشیای کار روزانه و غیره برگرفته شده اند و به مرور زمان و نسل به نسل به کار برده شده تا به نسل حاضر رسیده است )سامانیان ، 1378 : 8)

2-2 نقش های هندسی یا «گره»

نقش هندسی که اهل فن آن را «گره» می نامند، بافت های گوناگونی از شکل های منظم هندسی است (نوایی، 1383 : 272). گره، مجموعه ای از اشکال مختلف هندسی است که به طور هماهنگ و با نظمی خاص در زمینه ای مشخّص در کنار هم به کار رفته است (سامانیان، 1378 : 7) ؛ بافت های پیچیده ای که همگی ترکیبی منظم و همگن دارند و می توانند از همه سو گسترش یابند بدون آن که ترکیب منظم و هماهنگ شان دست خوش تغییر شود.
حضور گره ها در بناهای سنّتی، بر نظم موجود در این بناها (نظمی که به واسطة استفاده از شکل های خاص، انتظامات مرکزی، محوری، تقارن و سایر تمهیدات پدید آمده است) تأکید می کند و بنا را تبلوری از نظم و هندسه جلوه می دهد. گره، عین نظم، عین تعادل و هماهنگی است. گره، در چشم انسان هم چون جهانی عقلانی، جایی که در جزء و کلّش تدبیر و حکمت به کار رفته است.
در این نظام احسن، از«اتفاق» و «تصادف» خبری نیست. هر چیزی حساب و کتاب و اندازه ای دارد. هیچ ذرّه ای کم یا زیاد به نظر نمی رسد ، و کم یا زیاد نمی شود مگر به حکم تدبیر و حکمت. (نوایی، 1383 : 272). هر نقش گره دارای زمینه یا قاب و آلت گره است. آلت در لغت به معنی ابزار، افزار و واسطه ای میان فاعل و مفعول برای رسیدن (11) به اثر است. در گره چینی، آلت، ابزاری برای آفریدن اثر است. آلت به شکل های گره گفته می شود که از خطوط مستقیم و بر اساس قاعده ای منظّم به شکل های هندسی درآمده و در قاب یا زمینه ای محدود شده است.
از مجموع همه آلت ها شکل کلی گره به دست می آید؛ یعنی از کثرت به وحدت رسیدن، وحدتی در تعادلی هنرمندانه (امیر غیاثوند، 1382 : 37 ؛ صبا، 1383 ؛ بورگوان، 1362) .گره انواع بسیار دارد. چون گره خاصیّت زایش دارد و از هر گره، گره های دیگر به وجود می آید، بنابراین تعداد گره ها می تواند بیش از این ها باشد. گره ها با توجّه به زوایایی که دارند، به پنج گروه تقسیم می شوند: گره کند، گره تند گره شُل، گره کُند شُل و گره تند شُل. در جدول شماره 1، آلت های گره کند، تند و شل و انواع آن ها را می بینیم (امیر غیاثوند، 1382 : 66 – 65)

2-3. بررسی ویژگی های گره ها

در گره چینی، هر نقش گره از مجموعه ای از نقش های کوچک فراهم شده است. همه این نقش های کوچک در مجموعه ای به وحدت می رسند و نقشی یگانه و کلی را ارائه می دهند. رمز و راز زیبایی هنر گره چینی در مرزبندی آلت های گره با زمینه است. خط های مرزی باید مبتنی بر توازن و تقابل با رنگ زمینه باشند تا بتوانند نگاه را از کثرت نقش به وحدت طرح بکشانند. خلاقیّت هنرمندانه در ایجاد تعادل و توازن در نقش گره در خط های مرزی نمایان می شود (امیر غیاثوند، 1382 : 30).
در بررسی ویژگی گره ها، ابتدا به طور خلاصه یافته های محققان و سپس تحلیل خود را در این زمینه می آوریم. راجر پنرز اولین فردی است که توانست الگوی تزیین های اسلامی را توضیح دهد. وی دریافت که با استفاده از زیر مجموعه ای از کاشی هایی که با اصول مشابهی تولید شده اند و مونتاژ آن ها بر اساس مجموعه ای از قواعد هماهنگ سازی از پیش تعریف شده می توان کاشی کاری های نامتناوب از سطح، یعنی الگوهایی تنها با تقارن موضعی ایجاد نمود که امکان بسط و گسترش نامحدود آن ها بدون تکرار وجود دارد .تصویر شمارة 1( (Henry;2007,8).
نسبت طلایی بنا به یافته های فیثاغورث، گنگ خواهد بود، رقم دقیق آن 618033989 / 1 خواهد بود.